Kofinál
Kofinál a kofinálnosť limitného ordinálneho čísla je matematický pojem z oblasti teórie množín (ordinálnej aritmetiky). Je to jedna zo základných charakteristík limitných ordinálnych čísel, vyjadruje „mieru prístupnosti horných úrovní ordinálneho čísla“.
Definícia
upraviťPojem kofinálnosti má zmysel definovať len pre limitné ordinálne čísla. Ďalej teda budú označovať ľubovolné ordinálne čísla a budú označovať vždy limitné ordinálne čísla.
Kofinálna podmnožina
upraviťPovedzme, že množina je kofinálnou podmnožinou , ak existuje pre každé také , že . Hovoríme tiež, že A je kofinálne s .
Napríklad
- množina je kofinálna podmnožina ordinálu .
- množina je kofinálna podmnožina ordinálu .
- množina je kofinálna podmnožina ordinálu pre každé .
Kofinál a kofinálnosť
upraviťKofinálom limitného ordinálu rozumieme najmenšie ordinálne číslo také, že existuje množina kofinálna s , ktorej ordinálnym typom je (tj. A je -izomorfná s ). Kofinál limitného ordinálneho čísla sa značí .
Kofinálnosťou rozumieme mohutnosť (kardinalitu) . Dá sa ukázať, že pre každé je kardinálne číslo, a teda pojmy kofinál a kofinálnosť splývajú.
Napríklad
- pre každé
Regulárny a singulárny ordinál
upraviťLimitné ordinálne číslo, ktoré sa rovná svojej kofinálnosti sa nazýva regulárne. V opačnom prípade (ak je kofinálnosť menšia) sa nazýva singulárne.
Vlastnosti
upraviť- Pre každé limitné ordinálne číslo platí
- Pre každé limitné ordinálne číslo platí .
- Pre všetky je kardinálne číslo.
Ďalej za predpokladu axiómu výberu:
- Pre každé nekonečné kardinálne číslo platí .