Poissonovo rozdelenie

Poissonovo rozdelenie alebo Poissonovo pravdepodobnostné rozdelenie je v teórii pravdepodobnosti a štatistike diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti, ktoré môžeme interpretovať ako rozdelenie pravdepodobnosti výskytu zriedkavých udalostí v sérii veľkého počtu $n$ nezávislých pokusov. Patrí k pravostranne zošikmeným rozdeleniam.

Poissonovo rozdelenie sa často používa ako aproximácia binomického rozdelenia pre veľký počet pokusov, teda pre $n\to \infty$, a malú pravdepodobnosť výskytu sledovaného javu v jednom pokuse, teda pre $p\to 0$. V takomto prípade sa stredná hodnota binomického rozdelenia rovná parametru $\lambda$.

Rozdelenie je pomenované podľa francúzskeho fyzika a matematika Siméona Denisa Poissona. Poissonovo rozdelenie má veľmi výhodné vlastnosti, a práve preto sa často používa pri modelovaní počtu poistných plnení v životnom aj neživotnom poistení.

Definícia

Diskrétna náhodná premenná $X$ má Poissonovo rozdelenie s parametrom $\lambda >0$, ak nadobúda hodnoty $k=0,1,2,k...$ s pravdepodobnosťami $p_{0}$, $p_{1}$, $p_{2}$, ..., pričom pre tieto platí nasledovný vzťah:

$p_{k}=P(X=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda }$

Označujeme:

• $\operatorname {X} \sim Poi(\lambda )$
• $\operatorname {X} \sim Po(\lambda )$
• $\operatorname {X} \sim Pois(\lambda )$

Základné charakteristiky rozdelenia

• Stredná hodnota:

$\operatorname {E} (X)=\lambda$

• Rozptyl:

$\operatorname {D} (X)=\lambda$

• Koeficient šikmosti:

$\gamma _{1}={\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}$

• Koeficient špicatosti:

$\gamma _{2}={\frac {1}{\lambda }}$

• Momentová vytvárajúca funkcia:

$m(z)=\mathrm {e} ^{\lambda (\mathrm {e} ^{z}-1)}$

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Poissonovo rozdelenie

Zdroje

• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika – Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Náhodné premenné a náhodné vektory, s. 344.
• POTOCKÝ, Rastislav. Zbierka úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Bratislava : Vydavateľstvo Alfa, 1991. ISBN 80-05-00524-5. S. 382.
• PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika.. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-223-1262-2. S. 344.
• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Poissonovo rozdělení na českej Wikipédii.