Portál:Matematika/Odporúčaný článok/16 2011

Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces (iné názvy: Gramov-Schmidtov proces ortogonalizácie, Gramova-Schmidtova ortogonalizácia) je proces, ktorým z množiny lineárne nezávislých vektorov priestoru vytvárame jeho ortonormálnu bázu. Ortonormálna báza sa vyznačuje vlastnosťou, že jej vektory majú normovanú jednotkovú dĺžku a navzájom sú ortogonálne. Vektorový priestor dimenzie n môže byť všeobecne generovaný ľubovoľnou n-ticou lineárne nezávislých vektorov. Tieto však majú rôznu orientáciu a nejednotnú dĺžku (normu). Na odstránenie respektíve normalizáciu sa využíva práve spomínaný Gram-Schimdtov ortogonalizačný proces.

Postup ortogonalizácie

V prvom kroku Gramovho-Schmidtovho ortogonalizačného procesu sa pokladá za základ prvý vektor z množiny vektorov, ktoré normalizujeme. Podľa tohto vektora sa odvíja orientácia zvyšných. Ďalším krokom je samotná ortogonalizácia vektorov, a nakoniec normalizácia vektorov. Pre zjednodušenie výpočtov sa vektory normalizujú až na koniec procesu. Tento proces možno popísať ako rekurentný proces.

Vlastnosti a vzťahy

Nech ${\mathcal {M}}={\text{span}}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\cdots ,\mathbf {x} _{n})$ je vektorový priestor, ktorý je generovaný lineárne nezávislými vektormi $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\cdots ,\mathbf {x} _{n}$. To, že vektory sú lineárne nezávislé znamená, že existuje len triviálna nulová kombinácia koeficientov $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{n}$, že systém $\mathbf {X} \mathbf {c} =0$ má riešenie. Hľadáme také vektory $\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\cdots ,\mathbf {y} _{n}$ s vlastnosťou

$(\mathbf {q} _{i},\mathbf {q} _{j})=\left\{{\begin{array}{ll}1\,;&i=j\\0\,;&i\neq j\end{array}}\right.$

Odtiaľ vyplýva, že vektory musia byť ortogonálne a musia mať jednotkovú dĺžku. Tieto už budú priamo tvoriť bázu konkrétneho vektorového priestoru.

Celý článok...