Postupnosť (matematika)

Postupnosť (symbol je alebo len (an) či {an} ) je ľubovoľná funkcia - f(n) - , ktorej definičný obor je podmnožina prirodzených čísel (n je teda prirodzené číslo). Konkrétnu hodnotu f(n) nazývame n-tý člen postupnosti a značíme an.

Konečná postupnosť je ľubovoľná funkcia s definičným oborom {1, 2, ..., m}, kde m je prirodzené číslo. Nekonečné postupnosti majú ako definičný obor celú množinu prirodzených čísel.

Ak sú členmi postupnosti čísla, hovoríme o číselnej postupnosti alebo postupnosti čísiel, ak sú členmi postupnosti funkcie, hovoríme o funkcionálnej postupnosti.[1]

VlastnostiUpraviť

Postupnosť je

  • neklesajúca, ak pre všetky i platí  ,
  • nerastúca, ak pre všetky i platí  ,
  • rastúca, ak pre všetky i platí  ,
  • klesajúca, ak pre všetky i platí  ,
  • zdola ohraničená v množine A, ak existuje také  , že pre všetky i platí  ,
  • zhora ohraničená v množine A, ak existuje také  , že pre všetky i platí  .

Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je monotónna, ak je rastúca alebo klesajúca, je rýdzo monotónna.

Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora ohraničená, hovoríme, že je ohraničená.[2]


LimitaUpraviť

Hovoríme, že postupnosť

  • konverguje, ak má konečnú limitu (napr.   konverguje k 0),
  • diverguje, ak má nekonečnú limitu (napr.   diverguje k  ),
  • osciluje, ak limitu nemá (napr.  ).

Vybraná postupnosťUpraviť

Ak je   postupnosť (všeobecne reálnych) čísiel a   rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz   nazývame vybraná postupnosť (alebo čiastočná postupnosť) z   (inými slovami, z   vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne).

Platí Bolzano-Weierstrassova veta: Ak je   ohraničená postupnosť v  , potom z nej možno vybrať postupnosť  , ktorá je konvergentná.[3][4]

ReferencieUpraviť

  1. K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK. Kompendium matematiky [online]. Banská Bystrica : Compact Verlag, 2004, [cit. 2004-07-29]. ISBN 80-242-1227-7.
  2. P. HORÁK - Ľ. NIEPEL. Prehľad matematiky [online]. Bratislava : Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1982, [cit. 1982-07-29].
  3. F. JIRÁSEK, J. BENDA. Matematika pro bakalářské studium [online]. Praha : Ekopress, s.r.o., 2006, [cit. 2006-07-29]. ISBN 80-86929-02-7. (český)
  4. J. FECENKO - Ľ. PINDA. Matematika 1 [online]. Bratislava : Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 2006, [cit. 2006-07-29]. ISBN 80-8078-091-9.

Pozri ajUpraviť