Χ²-rozdelenie

-rozdelenie (iné názvy: -rozdelenie pravdepodobnosti, chí-kvadrát rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie (pravdepodobnosti) , rozdelenie (pravdepodobnosti) chí-kvadrát, rozdelenie (pravdepodobnosti) štvorca chí, Helmertovo-Pearsonovo rozdelenie (pravdepodobnosti)) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike rozdelenie pravdepodobnosti. Je to špeciálny prípad gama rozdelenia.

rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri určovaní odhadov a intervalových odhadov neznámych parametrov a pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty -rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť.

DefiníciaUpraviť

Nech   je náhodná premenná a nech   je prirodzené číslo. Hovoríme, že náhodná premenná   -rozdelenie s   stupňami voľnosti, ak jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

 

kde označenie   označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

 

Označenie:

  •  
  •  

Ďalšie vyjadrenia a vzťahyUpraviť

Pokiaľ máme náhodnú premennú  , ktorá má normované normálne rozdelenie, teda  , tak náhodná premenná   -rozdelenie s 1 stupňom voľnosti, teda  .

Toto tvrdenie platí analogicky aj pokiaľ máme   nezávislých náhodných premenných  , pričom každá z týchto premenných má normované normálne rozdelenie, teda   pre  . Potom nasledovná náhodná premenná:

 

 -rozdelenie s   stupňami voľnosti, teda  .

VlastnostiUpraviť

Začiatočné momenty tohto rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

 

Teda z tohto vzťahu dostaneme nasledovné vyjadrenia pre strednú hodnotu a disperziu premennej  :

  •  
  •  

Koeficient šikmosti má nasledovné vyjadrenie:

 

Pre koeficient špicatosti dostaneme:

 

Distribučná funkcia tohto rozdelenia má nasledovný tvar:

 

Graf hustoty tohto rozdelenia je pre malé hodnoty parametra   nesymetrický, no pre veľké hodnoty tohto parametra je hustota premennej tvaru:

 

čoraz viac symetrickejšia a pre hodnoty parametra   väčšie ako 30 ju môžeme aproximovať hustotou normálneho normovaného rozdelenia N(0, 1).

Kritické hodnotyUpraviť

Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre toto rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech   je náhodná premenná s   rozdelením s   stupňami voľnosti. Potom hodnoty  , ktoré náhodná premenná   presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou   nazývame kritické hodnoty  -rozdelenia. Matematicky zapísané:

 

ZdrojeUpraviť

  • RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320.
  • LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Niektoré typy rozdelenia pravdepodobnosti, s. 344 strán.
  • JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Dôležité rozdelenia odvodené od normálneho, s. 150.
  • ZVÁRA, Karel; ŠTĚPÁN, Josef. Pravděpodobnost a matematická statistika. Bratislava : VEDA - vydavateľstvo Slovenskej akadémie vied, 2002. ISBN 80-2240736-4. S. 230. (čeština)
  • BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.
  • POTOCKÝ, Rastislav, kolektív Zbierka úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Bratislava : Vydavateľstvo Alfa, 1991. ISBN 80-05-00524-5. Kapitola Náhodné premenné, s. 388.