Einsteinova sumačná konvencia

Einsteinova (sumačná) konvencia alebo Einsteinova notácia je v matematike a fyzike, špeciálne v oblasti lineárnej algebry, spôsob zapisovania rovníc výhodný pri práci so zložkami tenzorov, v rámci nich špeciálne aj vektorov a kovektorov. Túto konvenciu zaviedol A. Einstein v roku 1916.

Podľa tejto notácie, keď sa rovnaký index objaví v súčine dvakrát (raz ako horný a raz ako dolný), znamená to automatickú sumáciu cez všetky možné hodnoty tohoto indexu. V typických aplikáciách môže index nadobúdať hodnoty 1, 2, 3 v euklidovskom priestore alebo 0, 1, 2, 3 v Minkowského priestore. Počet hodnôt, ktoré index môže nadobúdať je rovný dimenzii priestoru, v ktorom pracujeme. V troch rozmeroch napríklad

automaticky znamená

Dôvodom na používanie tejto konvencie je sprehľadnenie zložitých rovníc, kde treba sumovať cez viacero rôznych indexov.

Spúšťanie a dvíhanie indexovUpraviť

Ak máme priestor s metrickým tenzorom  , zavádza sa jeho inverzná matica vzťahom

 

kde   je Kroneckerov symbol (rovný 1, ak   a rovný 0, ak  ). Potom možno zaviesť operáciu dvíhania a spúšťania indexov nasledovne:

 
 

Veličinám   sa niekedy zvykne hovoriť kovariantné a kontravariantné zložky (toho istého) vektora  . V striktnej terminológii sú však prvé z nich zložkami kovektorov.

Vzhľadom na to, že v euklidovskom priestore  , čísla   a   sú rovnaké, pre každé  . Preto sa pri práci v ňom často ignoruje poloha indexov hore-dolu.

Zápis vektorov a kovektorovUpraviť

V každom vektorovom priestore  si možno zvoliť bázu. Ak  , tak báza má   bázových prvkov   a každý vektor možno pomocou nej jednoznačne rozpísať do komponent  . Zapisuje sa teda

 

K vektorovému priestoru možno priradiť duálny priestor   lineárnych zobrazení   (kovektorov), v ktorom existuje istá preferovaná báza  . Je to zobrazenie, pre ktoré platí

 

Pomocou tejto bázy možno každý kovektorov jednoznačne reprezentovať ako

 

Bežné operácieUpraviť

Operácie s vektormiUpraviť

Skalárny súčin dvoch vektorov  možno zapísať ako

 ,

kde   je matica skalárneho súčinu. Pre bežný skalárny súčin v euklidovskom priestore možno písať zjednodušene

 

Vektorový súčin v E3 dvoch vektorov možno zapísať ako

 ,

kde   je úplne antisymetrický Levi-Civitov tenzor,  .

Veľkosť vektora v priestore s metrickým tenzorom   sa počíta ako

 .

Operácie s operátorom  Upraviť

  (nabla) je diferenciálny operátor, so zložkami

 

ktoré budeme označovať ako  . Zostávajúc v E3, v Einsteinovej sumačnej konvencii možno písať

 
 
 
 

Maticové operácieUpraviť

Maticami možno reprezentovať všetky dvojindexové tenzory. Ak sú indexy tenzora vedľa seba, prvý z nich označuje riadok a druhý stĺpec matice. Ak sú indexy nad sebou, horný preberá úlohu prvého.

Maticové násobenie

 

Stopa matice

 

Matematické aplikácieUpraviť

Einsteinovu sumačnú konvenciu možno šikovne využiť napríklad pri dôkazoch identít, kde vystupujú skalárne, vektorové a tenzorové súčiny. Uvedieme niekoľko príkladov pri práci v E3. Často sa pri tom budeme odvolávať na nasledujúce vzťahy:

  (ortonormovanosť bázy)
  (pravotočivosť bázy)
  (vyplýva z antisymetričnosti Levi-Civitovho tenzora)
  (Mnemotechnická pomôcka: Davis-cupová identita. Prvý deň hrál prvý s prvým a druhý s druhým, druhý deň prvý s druhým a druhý s prvým.)

Fyzikálne aplikácieUpraviť

Vo fyzike sa stretneme s Einsteinovou sumačnou konvenciou veľmi často, špeciálne tam, kde sa veľa narába s tenzormi. Uvedieme niekoľko príkladov:

 

kde   je tenzor napätia,   tenzor deformácie a tenzor   je tenzor vyjadrúci tuhosť prostredia. Má   komponent, z ktorých (vzhľadom na symetrie) je v najhoršom prípade 21 nezávislých.


 ,

kde   označuje parciálnu deriváciu podľa času a teda   neznamená voľný index.


 

kde index za čiarkou v dolnom indexe symbolizuje deriváciu podľa príslušnej súradnice.


 

ReferencieUpraviť