Sigma-algebra

Sigma-algebra alebo -algebra je v matematike teoretický koncept výberu podmnožín danej množiny, ktorý umožňuje napríklad zaviesť koncept miery, čo sa využíva predovšetkým v matematickej analýze na zavedenie pojmu integrál a v teórii pravdepodobnosti na budovanie teórie pravdepodobnostných priestorov.

DefiníciaUpraviť

 -algebra je usporiadaná dvojica  , kde   je ľubovoľná množina a  , pričom platí:

  •  ,
  • ak  , potom aj  ,
  • ak   je postupnosť množín z  , potom  .

(  je zápis pre potenčnú množinu množiny  .)

Keďže triviálna  -algebra (v ktorej  ) má veľmi jednoduché vlastnosti a v niektorých vetách spôsobuje nutnosť ju explicitne vynechať, niekedy sa zvykne v už v definícii vyradiť (podmienkou  ).

Na  -algebrách je postavená celá moderná pravdepodobnosť a teória miery.

PríkladyUpraviť

  • najjednoduchšia  -algebra nad ľubovoľnou množinou  :  ,
  •  ,
  •  , kde   je ľubovoľná nespočítateľná množina a   je systém všetých jej spočítateľných podmnožín a podmnožín, ktoré majú spočítateľný komplement,
  • Borelova  -algebra ( -algebra borelovských množín) je  -algebra nad ľubovoľným topologickým priestorom generovaná všetkými jeho otvorenými množinami.

VlastnostiUpraviť

Nie je ťažké ukázať, že každá  -algebra je uzavretá nielen na nekonečné spočítateľné zjednotenie z definície, ale aj na spočítateľný (konečný i nekonečný) prienik a konečné zjednotenie, teda pre ľubovoľnú  -algebru   platia nasledujúce tvrdenia:

  • ak  , potom  ,
  • ak  , potom  ,
  • ak  , potom  .

Z týchto uzáverových vlastností vyplýva, že každá  -algebra je uzavretá na ľubovoľnú množinovú operáciu vyjadrenú pomocou spočítateľného množstva prienikov, zjednotení a komplementov.

Ľahko sa dá aj ukázať, že prienik  -algebier (teda   pre  -algebry   a  ) je znova  -algebra.

Sigma-algebra generovaná množinouUpraviť

Ak máme danú nejakú množinu  , je zrejmé, že s ľubovoľnou množinou   nemusia tvoriť  -algebru. Má však zmysel sa pýtať, ako vyzerá najmenšia  -algebra obsahujúca celú množinu  .

Formálne, nech je daná (neprázdna) množina   a množina  . Nech   (teda   je prienik všetkých systémov   podmnožín množiny  , ktoré obsahujú  , a súčasne   je  -algebra). Potom hovoríme, že  -algebra   je  -algebra generovaná množinou (systémom množín)  .

Významným príkladom  -algebry generovanej množinou je  -algebra borelovských množín.

Pozri ajUpraviť