Arkussínus

Arkussínus je cyklometrická funkcia. Ide o inverznú funkciu ku goniometrickej funkcii sínus.

Graf funkcie arkussínus

Vlastnosti

• Funkcia je:
  • nepárna
  • ostro rastúca na celom svojom definičnom obore
• Definičný obor: $\langle -1,1\rangle$
• Obor hodnôt: $\textstyle \left\langle -{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right\rangle$
• Derivácia: $\operatorname {arcsin} '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
• Taylorov polynóm:

${\begin{aligned}\operatorname {arcsin} (x)&=x+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\cdot {\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\right),\quad \left|z\right|<1\end{aligned}}$

• Inverzné funkcie: sínus
• Graf:
  • Vznikne preklopením grafu funkcie $y=\sin(x)$ podľa osi I. a III. kvadrante.
  • Berieme len interval okolo počiatku, na ktorom je funkcia $\sin(x)$ prostá, teda v tomto prípade rastúca.
  • Interval $\textstyle \left\langle -{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right\rangle$ z definičného oboru sínusu sa stane oborom hodnôt funkcie $x=\mathrm {arcsin} (y)$.
  • Podobne obor hodnôt sínusu sa naopak stane definičnom odborom arkussínusu.

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Arkus sinus na českej Wikipédii.

Externé odkazy

• Cyklometrické funkcie