Modrá krivka označuje Taylorov polynóm. V animácii sa stupeň polynómu postupne zväčšuje, čim sa aproximácia v okolí nuly spresňuje.

Taylorov rad funkcie premennej v bode je potenčný rad (mocninový rad) so stredom v tvare

pričom

  • je -tá derivácia funkcie v bode ,
  • má v okolí bodu derivácie všetkých rádov.

Funkcia sa nazýva analytická (v bode ) ak jej Taylorov rad sa v niektorom okolí bodu zhoduje s danou funkciou. Toto neplatí univerzálne, čiže jestvujú funkcie, ktorých Taylorove rady sa s nimi nezhodujú. Príkladom takej funkcie je

.

Jej Taylorov rad so stredom v bode 0 je nulový rad, pričom daná funkcia má hodnotu nula jedine keď jej argument je nula.

Taylorov rozvoj (funkcie premennej v bode ) je Taylorov rad, pre ktorý platí, že jeho súčet (teda výsledná hodnota) v okolí bodu sa rovná . Maclaurinov rad je Taylorov rad so stredom v bode .

ÚčelUpraviť

Mnohoznačne zložité funkcie je ťažké si predstaviť, zobraziť ich, prípadne odhadnúť ich funkčné hodnoty. Tiež elementárne funkcie, napríklad sínus, kosínus, nadobúdajú najmä iracionálne hodnoty, ktoré nie je možné presne vyčísliť, niekedy ani odhadnúť. Práve Taylorov rad umožňuje tieto základné goniometrické funkcie, a mnohé iné, formálne definovať. Napríklad pre funkciu sínus platí nasledujúci odhad v okolí nuly

 .

Je to veľmi silná aproximácia. Hodnoty funkcie sínus v okolí nuly sa dajú vypočítať s veľmi malou chybou. Na prelome 17. a 18. storočia sa viacerí matematici pokúšali nahradiť funkciu nejakou jednoduchšou. Za najjednoduchšie sa všeobecne považujú polynomické funkcie, respektíve polynómy. Vybudovanie teórie, ktorá umožňovala aproximáciu funkcií práve polynómami, však vyžadovala poznatky z vyššej matematiky, hlavne diferenciálneho počtu. Teóriu nezávisle od seba budovali Brook Taylor a Colin Maclaurin. Táto teória umožňuje zapísať, za určitých predpokladov, funkciu ako súčet nekonečného mocninového radu, ktorý sa nazýva Taylorov rad.

Intuitívne odvodenieUpraviť

Hlavná myšlienka konštrukcie Taylorovho radu spočíva v rovnosti derivácií dvoch funkcií. Obmedzme sa na polynóm stupňa  . Zovšeobecnenie pre polynóm nekonečného stupňa – Taylorov rad bude presnejšie opísané v samotnej definícii. Majme dve funkcie definované v okolí nejakého bodu ich definičného oboru. Ak sa ich funkčné hodnoty rovnajú a ich derivácie všetkých rádov sú v tomto bode rovnaké, potom možno považovať funkcie za rovnaké. Na zjednodušenie uvažujme bod  . Vezmime funkciu   a všeobecný polynóm

 

Treba však nájsť koeficienty  , aby nastala rovnosť  , pre  . Jednoducho možno odvodiť, že  . Ďalší koeficient možno osamostatniť derivovaním a dosadením nuly. Koeficient   teda vypočítame prvou deriváciou

 

Po dosadení jednoducho  . Všeobecne pre  -ty člen polynómu platí

 

Týmto spôsobom jednoducho nájdeme tvar hľadaného polynómu. V tomto odvodení, ktoré je veľmi hrubé, nie sú zahrnuté všetky predpoklady na existenciu takého polynómu. Nie pre každú funkciu jestvuje Taylorov polynóm, respektíve Taylorov rad. Všetky predpoklady sú zhrnuté spolu so všeobecnou formálnou definíciou v nasledujúcom odseku.

DefiníciaUpraviť

Nech   je  -krát diferencovateľná funkcia v bode  , definovaná na okolí   bodu  . Potom platí

 

kde výraz   označuje zvyšok. Tento vzorec sa nazýva Taylorov vzorec a jeho prvá časť (teda časť bezo zvyšku) sa nazýva ( -tý) Taylorov polynóm alebo Taylorov aproximačný polynóm funkcie   so stredom v bode  .

Aby bol polynóm   konečného stupňa   Taylorovým polynómom, musí platiť:

 

Implikácia platí aj opačne, teda ak je uvedená limita nulová, potom   je Taylorovým polynómom funkcie   stupňa  .

Ak sa   blíži k nekonečnu, nazýva sa Taylorov aproximačný polynóm Taylorov rad.

Tvary zvyškuUpraviť

Cauchyho tvar zvyškuUpraviť

Cauchyho tvar vychádza z Lagrangeovej vety o strednej hodnote diferenciálneho počtu. Oveľa praktickejšie je však jeho zovšeobecnenie – Lagrangeov tvar, ktorý je ľahšie zapamätateľný. Nech číslo   je medzi   a stredom  . Teda v prípade   je  , v opačnom prípade   je  . Potom je zvyšok možné zapísať v tvare

 

Lagrangeov tvar zvyškuUpraviť

Lagrangeov tvar je zovšeobecnením Cauchyho tvaru a využíva Cauchyho vetu o strednej hodnote diferenciálneho počtu. Tento tvar je jednoduchší než Cauchyho, pretože sa podobá na nasledujúci  -vý člen rozvoja.

 

Integrálny tvar zvyškuUpraviť

 

Taylorove rady elementárnych funkciíUpraviť

V tabuľke sú odvodené Taylorove rady niektorých elementárnych funkcií. Na základe ich znalosti je možné odvodiť rozvoje iných, zložitejších funkcií.

Funkcia Taylorov rad Konvergencia
Exponenciálna funkcia    
Goniometrická funkcia sínus    
Goniometrická funkcia cosínus    
Cyklometrická funkcia arkussínus    
Cyklometrická funkcia arkustangens    
Nekonečný geometrický rad    
Prirodzený logaritmus  
 
 

 
Zovšeobecnený binomický dvojčlen    

PríkladUpraviť

Nájdime Taylorov rad funkcie   so stredom v bode  . Najprv uvážime Taylorove rady funkcií arkustangens a prirodzený logaritmus. Pre arkustangens platí

 

Podobne odvodíme vzťah pre logaritmus

 

Súčtom týchto radov a úpravou do vhodného tvaru dostaneme Taylorov rad funkcie  

 

PoužitieUpraviť

V praxi je využiteľný práve Taylorov polynóm, čo je špeciálny prípad Taylorovho radu, pričom sa vypočíta niekoľko prvých členov. Chyba, ktorej sa pri určovaní funkčnej hodnoty dopustíme, sa dá odhadnúť pomocou zvyškov. V teórii a pri teoretických dôkazoch je dôležité používať rozvoje funkcií cez definíciu Taylorovho radu ako nekonečného súčtu. Ak používame pri výpočte radu len niekoľko   prvých členov, ostatné je zvykom zapísať v tvare  . Tento zápis znamená napríklad pre  , že ide o členy stupňa vyššieho, ako  . Zároveň platí, že

 

Súčty radovUpraviť

Nájdime súčet nekonečného číselného radu

 

Na výpočet použijeme rozvoj funkcie sínus, pričom zvolíme  

 

Výpočet niektorých limítUpraviť

Niektoré limity nie je možné vypočítať bežnými prostriedkami, prípadne je to príliš zdĺhavé. Napríklad použitie L’Hospitalovho pravidla nezaručuje vždy jednoduchý postup. Dá sa ním však jednoducho vypočítať mnoho známych limít

 
 

Maticová exponenciálaUpraviť

Pomocou Taylorovho radu sa dá definovať aj abstraktný pojem z algebry – maticová exponenciála. Táto exponenciála sa využíva napríklad pri riešení systémov diferenciálnych rovníc. Uvažujme systém obyčajných diferenciálnych rovníc, ktorý môžeme napísať v tvare

 

Podobne ako obyčajná diferenciálna rovnica prvého rádu, má aj táto maticová diferenciálna rovnica riešenie v tvare

 

kde   je vektor s počiatočnými podmienkami pre partikulárne riešenie. Definovať maticovú exponenciálu umožňuje teoretický poznatok o diagonalizácii matice a Taylorovom rade. Exponenciálnu funkciu  , bez ohľadu na to, aký objekt predstavuje   (v tomto prípade matica) môžeme zapísať

 

Z diagonalizácie matice platí

 

Matica   je matica vlastných vektorov a matica   je matica vlastných čísel matice  . Podmienka diagonalizovateľnosti matice je však nutná. V prípade, že matica nie je diagonalizovateľná, je možné použiť na riešenie Jordanov tvar matice a rozklad  . Pre všeobecné riešenie pôvodnej diferenciálnej sústavy platí

 
 

ReferencieUpraviť


Pozri ajUpraviť