Portál:Matematika/Odporúčaný článok/19 2011

Banachov priestor, pomenovaný podľa Stefana Banacha, je v matematike normovaný lineárny priestor, ktorý je navyše úplný. Banachove priestory sú jedným z centrálnych objektov záujmu funkcionálnej analýzy.

Definícia

Banachov priestor je úplný normovaný lineárny priestor. To znamená, že Banachov priestor je lineárny priestor $V$ nad telesom reálnych alebo komplexných čísel s normou $\|.\|$, v ktorom má každá cauchyovská postupnosť v indukovanej metrike $d(x,y)=\|x-y\|$ limitu.

Príklady

• Priestory $\mathbb {R} ^{n}$ a $\mathbb {C} ^{n}$ (všetky n-tice reálnych, resp. komplexných čísel) sú Banachove priestory v ľubovoľnej norme. Pokiaľ na priestoroch $\mathbb {R} ^{n}$ a $\mathbb {C} ^{n}$ definujeme euklidovskú normu

$\|x\|:={\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2}}},$

kde $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$, budú tieto priestory dokonca priestormi Hilbertovými.

• Priestor všetkých spojitých funkcií $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ s normou

$\|f\|_{\infty }:=\max _{t\in [a,b]}|f(t)|$

je Banachov.

Celý článok...