Hyperbolická funkcia

Pojem hyperbolické funkcie označuje v matematike skupinu niekoľkých funkcií, ktoré sú analogicky podobné goniometrickým funkciám. Medzi základné hyperbolické funkcie patrí hyperbolický sínus (sinh, sh) a hyberbolický kosínus (cosh, ch), ďalej z nich odvodený hyberbolický tangens (tanh, th), hyberbolický kotangens (cotanh, coth, cth), sekans (sech), kosekans (csh). Inverzné funkcie k hyberbolickým funkciám označujeme ako hyperbolometrické funkcie.

Grafy hyperbolických funkcií

Rovnako ako goniometrické funkcie sínus a kosínus, ktoré definujú body na jednotkovej kružnici, hyperbolický sínus a hyberbolický kosínus zase definujú body pravej časti rovnoosej hyperboly. Parametrom týchto funkcií je tzv. hyperbolický uhol.

Definície hyperbolických funkciíUpraviť

Ako hyperbolické funkcie nazývame nasledujúce štyri funkcie, kde   označuje Eulerovo číslo:

  • Hyperbolický sínus:
  ; kde  
  • Hyperbolický kosínus:
  ; kde  
  • Hyperbolický tangens:
  ; kde  
  • Hyperbolický kotangens:
  ; kde  

VlastnostiUpraviť

  • Pre hyperbolický sínus a kosínus platí:
  pre všetky  
  • Pre hyperbolický sínus a kosínus ďalej platí:
  pre všetky  
  pre všetky  
 
 

Monotónnsť a paritaUpraviť

Hyperbolický sínus je rastúca nepárna funkcia na intervale  , pričom limitne platí nasledovné:

  •  
  •  

Hyperbolický kosínus je párna klesajúca funkcia na intervale   a rastúca je na intervale  . Limitne pre túto funkciu platí nasledovné:

  •  
  •  

Hyperbolický tangens je nepárna rastúca funkcia na intervale  . Limitne pre ňu platí:

  •  
  •  

Hyperbolický kotangens je nepárna klesajúca funkcia na intervale   a  . Pre túto funkciu limitne platí:

  •  
  •  
  •  
  •  

DerivácieUpraviť

Pre základné derivácie hyperbolických funkcií platia nasledovné vzťahy:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

IntegrályUpraviť

Pre základné integrály hyperbolických funkcií platia nasledovné vzťahy:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

kde   je integračná konštatnta.

Iné projektyUpraviť

ZdrojUpraviť

  • NEUBRUNN, Tibor; VENCKO, Jozef. Matematická analýza I. [s.l.] : Matematicko-fyzikálna fakulta UK, Vysokoškolské skriptá, 1992. Dostupné online.
  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Hyperbolické funkce na českej Wikipédii.