Hyperbolická funkcia

Pojem hyperbolické funkcie označuje v matematike skupinu niekoľkých funkcií, ktoré sú analogicky podobné goniometrickým funkciám. Medzi základné hyperbolické funkcie patrí hyperbolický sínus (sinh, sh) a hyberbolický kosínus (cosh, ch), ďalej z nich odvodený hyberbolický tangens (tanh, th), hyberbolický kotangens (cotanh, coth, cth), sekans (sech), kosekans (csh). Inverzné funkcie k hyberbolickým funkciám označujeme ako hyperbolometrické funkcie.

Grafy hyperbolických funkcií

Rovnako ako goniometrické funkcie sínus a kosínus, ktoré definujú body na jednotkovej kružnici, hyperbolický sínus a hyberbolický kosínus zase definujú body pravej časti rovnoosej hyperboly. Parametrom týchto funkcií je tzv. hyperbolický uhol.

Definície hyperbolických funkcií

Ako hyperbolické funkcie nazývame nasledujúce štyri funkcie, kde $e$ označuje Eulerovo číslo:

• Hyperbolický sínus:

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}$ ; kde $x\in (-\infty ,\infty )$

• Hyperbolický kosínus:

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}$ ; kde $x\in (-\infty ,\infty )$

• Hyperbolický tangens:

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}$ ; kde $x\in (-\infty ,\infty )$

• Hyperbolický kotangens:

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}$ ; kde $x\in (-\infty ,\infty )/\{0\}$

Vlastnosti

• Hyperbolické funkcie sú spojité na svojich definičných oboroch.

• Pre hyperbolický sínus a kosínus platí:

${\cosh }^{2}{x}-{\sinh }^{2}{x}=1$ pre všetky $x\in \mathbb {R}$

• Pre hyperbolický sínus a kosínus ďalej platí:

$\cosh(x+y)=\cosh x\cdot \cosh y+\sinh x\cdot \sinh y$ pre všetky $x\in \mathbb {R}$

$\sinh(x+y)=\sinh x\cdot \cosh y+\cosh x\cdot \sinh y$ pre všetky $x\in \mathbb {R}$

$\cosh(2x)={\cosh }^{2}{x}+{\sinh }^{2}{x}$

$\sinh(2x)=2\cosh x\cdot \sinh x$

Monotónnosť a parita

Hyperbolický sínus je rastúca nepárna funkcia na intervale $(-\infty ,\infty )$, pričom limitne platí nasledovné:

• $\lim _{x\to \infty }\sinh x=\infty$
• $\lim _{x\to -\infty }\sinh x=-\infty$

Hyperbolický kosínus je párna klesajúca funkcia na intervale $(-\infty ,0)$ a rastúca je na intervale $x\in (0,\infty )$. Limitne pre túto funkciu platí nasledovné:

• $\lim _{x\to \infty }\cosh x=\infty$
• $\lim _{x\to -\infty }\cosh x=\infty$

Hyperbolický tangens je nepárna rastúca funkcia na intervale $(-\infty ,\infty )$. Limitne pre ňu platí:

• $\lim _{x\to \infty }\tanh x=1$
• $\lim _{x\to -\infty }\tanh x=-1$

Hyperbolický kotangens je nepárna klesajúca funkcia na intervale $(-\infty ,0)$ a $(0,\infty )$. Pre túto funkciu limitne platí:

• $\lim _{x\to 0_{+}}\coth x=\infty$
• $\lim _{x\to 0_{-}}\coth x=-\infty$
• $\lim _{x\to \infty }\coth x=1$
• $\lim _{x\to -\infty }\coth x=-1$

Derivácie

Pre základné derivácie hyperbolických funkcií platia nasledovné vzťahy:

${\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x\,$

${\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x\,$

${\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\hbox{sech}}^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,$

${\frac {d}{dx}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\hbox{csch}}^{2}x=-1/\sinh ^{2}x\,$

${\frac {d}{dx}}\ {\hbox{csch}}\,x=-\coth x\ {\hbox{csch}}\,x\,$

${\frac {d}{dx}}\ {\hbox{sech}}\,x=-\tanh x\ {\hbox{sech}}\,x\,$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {artanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}$

Integrály

Pre základné integrály hyperbolických funkcií platia nasledovné vzťahy:

$\int \sinh ax\,dx=a^{-1}\cosh ax+C$

$\int \cosh ax\,dx=a^{-1}\sinh ax+C$

$\int \tanh ax\,dx=a^{-1}\ln(\cosh ax)+C$

$\int \coth ax\,dx=a^{-1}\ln(\sinh ax)+C$

$\int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C$

$\int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C$

$\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}$

$\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}$

$\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}=-a^{-1}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C$

$\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}=-a^{-1}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C$

kde $C$ je integračná konštatnta.

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Hyperbolická funkcia

Zdroj

• NEUBRUNN, Tibor; VENCKO, Jozef. Matematická analýza I. [s.l.] : Matematicko-fyzikálna fakulta UK, Vysokoškolské skriptá, 1992. Dostupné online. Archivované 2009-12-27 z originálu.
• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Hyperbolické funkce na českej Wikipédii.