Otvoriť hlavné menu

Pomoc:Matematické vzorce

Syntaktické pravidláUpraviť

V prostredí math sú ignorované všetky zadané medzery. Veľkosť medzier medzi jednotlivými znakmi riadi algoritmus. Rovnako sú ignorované konce riadkov. Napríklad zápis

<math> x +
y=z      -1 </math>

a zápis

<math> x + y = z - 1 </math>

vedie k rovnakému výsledku  .

Horné a dolné indexyUpraviť

Na vytváranie horného indexu slúži znak ^, na dolný index znak _. Ak je index tvorený viacerými znakmi, je potrebné ich umiestniť medzi znaky { a }.

zápis výstup
x^2  
x_1  
x_1^2  
a^{bc}_{de}  
R_i{}^j{}_{kl}  
\beta^2  

Príklad:
 

zápis: ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 - c^2 dt^2

 

zápis: R_i{}^j{}_{kl} = g^{jm} R_{imkl} = - g^{jm} R_{mikl} = - R^j{}_{ikl}\,\!

Grécke písmenáUpraviť

Grécke písmená sa tvoria pomocou znaku \ nasledovaným názvom písmena v angličtine.

zápis výstup
\alpha  
\beta  
\gamma  
\delta  
\nu  
\mu  

To isté platí aj pre veľké písmená, ale po znaku \ nasleduje názov s veľkým začiatočným písmenom.

zápis výstup
\Gamma  
\Delta  
\Theta  
\Omega  
\Pi  
\Sigma  

Niektoré grécke písmená majú dva varianty, aby napr. nedochádzalo k zámene s inými znakmi (napr.   a  )

zápis výstup
\rho \varrho  
\phi \varphi  
\epsilon \varepsilon  
\pi \varpi  
\sigma \varsigma  

Diakritické znamienkaUpraviť

V matematickom móde nie je možné používať priamo diakritické znamienka (konverzia vzorca skončí neúspešne). Vhodné sú na rozlišovanie premenných a veličín (napr.   a  )

zápis výstup
\acute{a}  
\grave{a}  
\hat{a}  
\check{a}  
\tilde{a}  
\breve{a}  
\bar{a}  
\dot{a}  
\ddot{a}  
\vec{a}  

Špeciálne písmenáUpraviť

Príklady pre množiny, švabach a hebrejčinu.

zápis: x\in\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

vytvorí:  

zápis: \mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = 0

vytvorí:  

zápis: \aleph \beth \gimel \daleth

vytvorí:  

zápis: \mathcal{ABCDE}

vytvorí:  

zápis: \mathfrak{aAbBcC} 

vytvorí:  

DiakritikaUpraviť

Ak vložíte do <math> nie-ASCII znak, objaví sa na výstupe červená chybová hláška. Diakritiku je ale možné vložiť pomocou príkazov TeX-u:

 

zápis: \acute{a} \quad \check{a} \quad \grave{a} \quad \breve{a} \quad \tilde{a} \hat{a}

FunkcieUpraviť

Názov funkcie sa nepíše pomocou kurzívy ako premenná, ale stojatým písmom. Pre väčšinu matematických funkcií jestvuje príkaz.

zápis výstup zápis výstup
\sin x   \ln x  
\cos \alpha   \log (x+1)  
\tan x   \max (1,2,3)  
\arcsin x   \exp (2\pi r)  

Príklad:  

zápis: \sin x + \ln y +\operatorname{sgn} z

Zátvorky a absolútna hodnotaUpraviť

 

zápis: \|f\| = \inf \{ K \in [0,+\infty) : |f(x)| \leq K \|x\| \mbox{ for all } x \in X \}

 

zápis: f(x,y,z) = 3y^2 z \left( 3 + \frac{7x+5}{1 + y^2} \right)

ZlomkyUpraviť

Zlomky sa vytvárajú pomocou príkazu \frac{<čitateľ>}{<menovateľ>}. Zátvorky okolo zlomkov sa tvoria pomocou príkazov \left( a \right) (prípadne \left\{ a \right\} a pod.)

zápis výstup
\frac{x-y}{(x+y)^2}  
\left(\frac {1}{x}\right)^2  
\left[\frac{2x}{y+1}\right]  
\frac{x+1}{y-1}  

Príklad:   zápis: f(x) = 2x + \frac{x - 7}{x^2 + 4}

OdmocninyUpraviť

Druhá odmocnina sa zapisuje pomocou príkazu \sqrt. Vyššie odmocniny sa zapisujú pomocou príkazu \sqrt[], pričom v hranatých zátvorkách sa uvádza odmocnina.

zápis výstup
\sqrt x  
\sqrt{(a+b)^2}  
\sqrt[3]{a}  
\sqrt{\frac{x+1}{y-1}}  

Príklad:

 

zápis: \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

 

zápis: \sqrt[3]{q + \sqrt{ q^2 - p^3 }} + \sqrt[3]{q - \sqrt{ q^2 - p^3 }}

IntegrályUpraviť

Pre znak integrálu je jestvuje príkaz \int, pričom na zápis rozsahu integrovania sa používa horný a dolný index. Na zápis derivácie sa používa stojaté písmo (\mathrm{d}) a obvykle sa od predchádzajúceho výrazu oddeľuje zúženou medzerou (\,).

zápis: \int_{a}^{b} e^x\, \mathrm{d}x

vytvorí:  

zápis: \oint_{C} x^3\, \mathrm{d}x + 4y^2\, \mathrm{d}y

vytvorí:  

zápis: \iint_{a}^{b} e^x\, \mathrm{d}x

vytvorí:  

Príklad:

 

zápis: \int_{-N}^{N} e^x\, \mathrm{d}x

DerivácieUpraviť

V slovenskej (a českej) notácii býva zvykom písať diferenciály „rovné“ pomocou \mathrm{} ako

  zápis: \mathrm{d}x,

čiže napr. pre deriváciu f podľa x

 

zápis: \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}

Suma a limitaUpraviť

Ako znak sumy slúži príkaz \sum a pre produkt súčinu príkaz \prod. Horná a dolná medza sa zapisuje pomocou horného a dolného indexu.

zápis: \sum_{i=1}^n x^2 vytvorí:  

zápis: \prod_{i=1}^n x_i vytvorí:  

Limita sa zapisuje pomocou príkazu \lim s dolným indexom (príkaz \to vytvorí šípku).

zápis: \lim_{n \to \infty}x_n

vytvorí:  

Príklad:

  zápis: \lim_{n \to \infty}x_n

  zápis: \sum_{k=1}^N k^2

  zápis: \prod_{i=1}^N x_i

MaticeUpraviť

zápis výstup
\begin{matrix}
x & y \\
z & v
\end{matrix}
 
   
\begin{pmatrix}
x & y \\
z & v
\end{pmatrix}
 
   
\begin{vmatrix}
x & y \\
z & v
\end{vmatrix}
 
   
\begin{Vmatrix}
x & y \\
z & v
\end{Vmatrix}
 
   
\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0
\end{bmatrix}
 
   
\vec a\times \vec b =
\det\begin{pmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k\\
a_x & a_y &a_z \\
b_x & b_y & b_z
\end{pmatrix}
 

Príklad:

     

zápis: \begin{pmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i \end{pmatrix}

       \begin{vmatrix}\lambda - a & -b & -c \\-d & \lambda - e & -f \\-g & -h & 
       \lambda - i \end{vmatrix}
       \begin{matrix}\mbox{Prve cislo} & x & 8 \\\mbox{Druhe cislo} & y & 15 \\
       \mbox{Sucet} & x + y & 23 \\\mbox{Rozdiel} & x - y & -7 \\
       \mbox{Sucin} & xy & 120 \end{matrix}

 

zápis: f(n)=\left\{\begin{matrix} n/2, & \mbox{ ak }n\mbox{ je neparne} \\ 3n+1,

& \mbox{ ak }n\mbox{ je parne}\end{matrix}\right\\,\!}

Špeciálne znakyUpraviť

zápis výstup zápis výstup
\sim   \leftarrow  
\approx   \rightarrow  
\simeq   \to  
\cong   \not\to  
\dot=   \leftrightarrow  
\le   \Leftarrow  
\ge   \Rightarrow  
\gg   \Leftrightarrow  
\ll   \infty  
\equiv   \times  
\ne   \cdot  
\propto   \pm  
\hbar   \nabla  
\partial   \emptyset  

MedzeryUpraviť

V prostredí math sú ignorované všetky zadané medzery, pretože sádzací program ich volí podľa vlastného algoritmu. Tento algoritmus pracuje väčšinou správne, ale niekedy je nutné si medzeru vynútiť. K dispozícii je viacero veľkostí medzier.

medzera ukážka poznámka
a\qquad b  
a\quad b  
a\ b   medzislovná medzera
a\; b  
a\, b   zúžená medzera
a\! b   záporná medzera

Typografia vzorcovUpraviť

Pri tvorbe matematických vzorcov je vhodné dodržiavať niektoré pravidlá, ktoré zlepšujú ich interpretáciu a estetiku.

  • Znak násobenia
ako znak násobenia nie je dobré používať bodku na úrovni riadku (a.b), ale bodku v strede riadku (a\cdot b) alebo krížik (a\times b).
  • Derivácia
v slovenskej typografii (na rozdiel od anglosaskej) je zvykom písať znak derivácie „d“ stojatým písmom (pre rozlíšenie od premennej, ktorá sa píše kurzívou). Do stojatého písma sa prepína pomocou príkazu \mathrm{...}. Píšeme teda \mathrm{d}x a získame  
  • Fyzikálne jednotky
podobne ako derivácia sa značky fyzikálnych jednotiek píšu stojatým písmom a od číselnej hodnoty sa oddeľujú zúženou medzerou \,. Píšeme teda m = 5\,\mathrm{kg} a získame  
  • Desatinná čiarka
program LaTeX používa ako desatinný oddeľovač bodku (3.14), v slovenskej typografii to je čiarka, za ktorú však LaTeX automaticky vkladá medzeru. To sa dá potlačiť umiestnením čiarky do zátvoriek. Píšeme teda \pi = 3{,}14 a získame  
  • Písanie slov
v prostedí math je každé písmeno chápané ako premenná, preto je sádzané kurzívou a navyše sú ignorované všetky medzery (ak n>2, potom vytvorí  ). Je potrebné používať prostredie \mbox{}.
Píšeme teda (pozor na medzery!) \mbox{ak }n>2\mbox{, potom...} a získame  
  • Indexy
veľmi často sa dolný index používa na rozlíšenie veličín (t – čas; tP – Planckov čas). Je vhodné, aby index, ktorý reprezentuje len skratku, bol sádzaný stojatým písmom. Píšeme teda
h_{\mathrm{max}} a získame  ,
T_{\mathrm{v}} a získame   (teplota varu),
ale píšeme C_p a získame   (p – značka tlaku kurzívou)
  • Funkcie
názvy funkcií (napr. sin, cos, ...) nepíšeme kurzívou (napr. sin x), pretože sin x vytvorí  , čo sa dá intepretovať aj ako súčin premenných s, i, n a x.
Používame pripravené príkazy \sin, \cos, \log, ...

Vkladanie formátovacích znakovUpraviť

Pri tvorbe matematických vzorcov je potrebné používať niektoré znaky, ktoré sa nenachádzajú na bežnej slovenskej klávesnici. Je však možné ich vkladať pomocou tzv. alt kódov (klávesa alt (resp. alt gr) + číslo).

znak alt kód alternatíva
\ alt + 92 alt + q
^ alt + 94 alt + 3 a potom medzera
_ alt + 95 shift + -
[ alt + 91 alt + f
] alt + 93 alt + g
{ alt + 123 alt + b
} alt + 125 alt + n
< alt + 60 alt + ,
> alt + 62 alt + .

Vykresľovanie vzorcovUpraviť

Na základe používateľských nastavení a zložitosti vytvoreného vzorca je vytvorený buď vzorec vo formáte HTML alebo vo formáte PNG. Niekedy však vzorec vo formáte PNG ponúka uspokojivejší výsledok. V takom prípade je možné si PNG formát vynútiť príkazom \,\! umiestneným na konci či začiatku vzorca (ide o príkaz pre zúženú medzeru „neutralizovaný“ zápornou medzerou rovnakej veľkosti).

zápis výstup
abc  
abc\,\!  
a^2 + b^2 = c^2  
a^2 + b^2 = c^2\,\!  

Pozn.: V tomto návode boli pre jednotnosť všetky vzorce vynútené ako PNG pomocou spomenutého mechanizmu.

Ukážky hotových vzorcovUpraviť

zápis výstup
x_{1,2}=\frac{-b \pm
\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
 
   
x^n + y^n =
z^n\quad(n>3;\ x,y,z
\in \mathbb{N})
 
   
\sqrt[n+1]{x_1+
\cdots + x_n}
 
   
p_1 V_1 = p_2 V_2
\quad (T = \mathrm{const})
 
   
\int^\infty_0
f(x)\,\mathrm{d}x
 
   
x + y = \max\{x,y\}
+\min\{x,y\}
 
   
\sin 18^\circ =
\frac{1}{4}(\sqrt 5 - 1)
 
   
f(x,y,z) = 3y^2 z
\left( 3 + \frac{7x+5}{1 +
y^2} \right)
 
   
n \choose k/2  
   
f(n) =
\begin{cases}
n/2, & \mathrm{ak}\ n \
\mathrm{p\acute{a}rne} \\ 3n+1, &
\mathrm{ak}\ n\ \mathrm{nep\acute{a}rne}
\end{cases}
 

ReferencieUpraviť

  • D. E. Knuth: The TeXbook, AMS & Addison–Wesley, 1986
  • T. Oetiker a kol.: Nie príliš stručný úvod do systému LaTeX 2ε, dostupný na internete

Pozri ajUpraviť