Pomoc:Matematické vzorce
Pomoc:Obsah |
Softvér MediaWiki používa na tvorbu matematických vzorcov podmnožinu príkazov jazyka LaTeX a AMSLaTeX. Na základe nastavení a zložitosti vytvoreného vzorca je potom zo zdrojového textu vytvorený matematický vzorec vo formáte HTML (jednoduchšie výrazy) alebo v podobe obrázka PNG (zložitejšie resp. komplexnejšie výrazy). Každý vzorec za zapisuje medzi značky <math>
a </math>
.
Syntaktické pravidlá
upraviťV prostredí math sú ignorované všetky zadané medzery. Veľkosť medzier medzi jednotlivými znakmi riadi algoritmus. Rovnako sú ignorované konce riadkov. Napríklad zápis
<math> x +
y=z -1 </math>
a zápis
<math> x + y = z - 1 </math>
vedie k rovnakému výsledku .
Horné a dolné indexy
upraviťNa vytváranie horného indexu slúži znak ^
, na dolný index znak _
. Ak je index tvorený viacerými znakmi, je potrebné ich umiestniť medzi znaky {
a }
.
zápis výstup x^2
x_1
x_1^2
a^{bc}_{de}
R_i{}^j{}_{kl}
\beta^2
Príklad:
zápis: ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 - c^2 dt^2
zápis: R_i{}^j{}_{kl} = g^{jm} R_{imkl} = - g^{jm} R_{mikl} = - R^j{}_{ikl}\,\!
Grécke písmená
upraviťGrécke písmená sa tvoria pomocou znaku \
nasledovaným názvom písmena v angličtine.
zápis výstup \alpha
\beta
\gamma
\delta
\nu
\mu
To isté platí aj pre veľké písmená, ale po znaku \
nasleduje názov s veľkým začiatočným písmenom.
zápis výstup \Gamma
\Delta
\Theta
\Omega
\Pi
\Sigma
Niektoré grécke písmená majú dva varianty, aby napr. nedochádzalo k zámene s inými znakmi (napr. a )
zápis výstup \rho \varrho
\phi \varphi
\epsilon \varepsilon
\pi \varpi
\sigma \varsigma
Diakritické znamienka
upraviťV matematickom móde nie je možné používať priamo diakritické znamienka (konverzia vzorca skončí neúspešne). Vhodné sú na rozlišovanie premenných a veličín (napr. a )
zápis výstup \acute{a}
\grave{a}
\hat{a}
\check{a}
\tilde{a}
\breve{a}
\bar{a}
\dot{a}
\ddot{a}
\vec{a}
Špeciálne písmená
upraviťPríklady pre množiny, švabach a hebrejčinu.
zápis: x\in\mathbb{R}\sub\mathbb{C}
vytvorí:
zápis: \mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = 0
vytvorí:
zápis: \aleph \beth \gimel \daleth
vytvorí:
zápis: \mathcal{ABCDE}
vytvorí:
zápis: \mathfrak{aAbBcC}
vytvorí:
Diakritika
upraviťAk vložíte do <math> nie-ASCII znak, objaví sa na výstupe červená chybová hláška. Diakritiku je ale možné vložiť pomocou príkazov TeX-u:
zápis: \acute{a} \quad \check{a} \quad \grave{a} \quad \breve{a} \quad \tilde{a} \hat{a}
Funkcie
upraviťNázov funkcie sa nepíše pomocou kurzívy ako premenná, ale stojatým písmom. Pre väčšinu matematických funkcií jestvuje príkaz.
zápis výstup zápis výstup \sin x
\ln x
\cos \alpha
\log (x+1)
\tan x
\max (1,2,3)
\arcsin x
\exp (2\pi r)
Príklad:
zápis: \sin x + \ln y +\operatorname{sgn} z
Zátvorky a absolútna hodnota
upraviť
zápis: \|f\| = \inf \{ K \in [0,+\infty) : |f(x)| \leq K \|x\| \mbox{ for all } x \in X \}
zápis: f(x,y,z) = 3y^2 z \left( 3 + \frac{7x+5}{1 + y^2} \right)
Zlomky
upraviťZlomky sa vytvárajú pomocou príkazu \frac{<čitateľ>}{<menovateľ>}
. Zátvorky okolo zlomkov sa tvoria pomocou príkazov \left(
a \right)
(prípadne \left\{
a \right\}
a pod.)
zápis výstup \frac{x-y}{(x+y)^2}
\left(\frac {1}{x}\right)^2
\left[\frac{2x}{y+1}\right]
\frac{x+1}{y-1}
Príklad:
zápis: f(x) = 2x + \frac{x - 7}{x^2 + 4}
Odmocniny
upraviťDruhá odmocnina sa zapisuje pomocou príkazu \sqrt
. Vyššie odmocniny sa zapisujú pomocou príkazu \sqrt[]
, pričom v hranatých zátvorkách sa uvádza odmocnina.
zápis výstup \sqrt x
\sqrt{(a+b)^2}
\sqrt[3]{a}
\sqrt{\frac{x+1}{y-1}}
Príklad:
zápis: \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
zápis: \sqrt[3]{q + \sqrt{ q^2 - p^3 }} + \sqrt[3]{q - \sqrt{ q^2 - p^3 }}
Integrály
upraviťPre znak integrálu je jestvuje príkaz \int
, pričom na zápis rozsahu integrovania sa používa horný a dolný index. Na zápis derivácie sa používa stojaté písmo (\mathrm{d}
) a obvykle sa od predchádzajúceho výrazu oddeľuje zúženou medzerou (\,
).
zápis: \int_{a}^{b} e^x\, \mathrm{d}x
vytvorí:
zápis: \oint_{C} x^3\, \mathrm{d}x + 4y^2\, \mathrm{d}y
vytvorí:
zápis: \iint_{a}^{b} e^x\, \mathrm{d}x
vytvorí:
Príklad:
zápis: \int_{-N}^{N} e^x\, \mathrm{d}x
Derivácie
upraviťV slovenskej (a českej) notácii býva zvykom písať diferenciály „rovné“ pomocou \mathrm{} ako
zápis: \mathrm{d}x,
čiže napr. pre deriváciu f podľa x
zápis: \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}
Suma a limita
upraviťAko znak sumy slúži príkaz \sum
a pre produkt súčinu príkaz \prod
. Horná a dolná medza sa zapisuje pomocou horného a dolného indexu.
zápis: \sum_{i=1}^n x^2
vytvorí:
zápis: \prod_{i=1}^n x_i
vytvorí:
Limita sa zapisuje pomocou príkazu \lim
s dolným indexom (príkaz \to
vytvorí šípku).
zápis: \lim_{n \to \infty}x_n
vytvorí:
Príklad:
zápis: \lim_{n \to \infty}x_n
zápis: \sum_{k=1}^N k^2
zápis: \prod_{i=1}^N x_i
Matice
upraviťzápis výstup \begin{matrix}
x & y \\
z & v
\end{matrix}\begin{pmatrix}
x & y \\
z & v
\end{pmatrix}\begin{vmatrix}
x & y \\
z & v
\end{vmatrix}\begin{Vmatrix}
x & y \\
z & v
\end{Vmatrix}\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0
\end{bmatrix}\vec a\times \vec b =
\det\begin{pmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k\\
a_x & a_y &a_z \\
b_x & b_y & b_z
\end{pmatrix}
Príklad:
zápis: \begin{pmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i \end{pmatrix}
\begin{vmatrix}\lambda - a & -b & -c \\-d & \lambda - e & -f \\-g & -h &
\lambda - i \end{vmatrix}
\begin{matrix}\mbox{Prve cislo} & x & 8 \\\mbox{Druhe cislo} & y & 15 \\
\mbox{Sucet} & x + y & 23 \\\mbox{Rozdiel} & x - y & -7 \\
\mbox{Sucin} & xy & 120 \end{matrix}
zápis: f(n)=\left\{\begin{matrix} n/2, & \mbox{ ak }n\mbox{ je neparne} \\ 3n+1,
& \mbox{ ak }n\mbox{ je parne}\end{matrix}\right\\,\!}
Špeciálne znaky
upraviťzápis výstup zápis výstup \sim
\leftarrow
\approx
\rightarrow
\simeq
\to
\cong
\not\to
\dot=
\leftrightarrow
\le
\Leftarrow
\ge
\Rightarrow
\gg
\Leftrightarrow
\ll
\infty
\equiv
\times
\ne
\cdot
\propto
\pm
\hbar
\nabla
\partial
\emptyset
Medzery
upraviťV prostredí math sú ignorované všetky zadané medzery, pretože sádzací program ich volí podľa vlastného algoritmu. Tento algoritmus pracuje väčšinou správne, ale niekedy je nutné si medzeru vynútiť. K dispozícii je viacero veľkostí medzier.
medzera ukážka poznámka a\qquad b
a\quad b
a\ b
medzislovná medzera a\; b
a\, b
zúžená medzera a\! b
záporná medzera
Typografia vzorcov
upraviťPri tvorbe matematických vzorcov je vhodné dodržiavať niektoré pravidlá, ktoré zlepšujú ich interpretáciu a estetiku.
- Znak násobenia
- ako znak násobenia nie je dobré používať bodku na úrovni riadku (
a.b
), ale bodku v strede riadku (a\cdot b
) alebo krížik (a\times b
).
- Derivácia
- v slovenskej typografii (na rozdiel od anglosaskej) je zvykom písať znak derivácie „d“ stojatým písmom (pre rozlíšenie od premennej, ktorá sa píše kurzívou). Do stojatého písma sa prepína pomocou príkazu
\mathrm{...}
. Píšeme teda\mathrm{d}x
a získame
- Fyzikálne jednotky
- podobne ako derivácia sa značky fyzikálnych jednotiek píšu stojatým písmom a od číselnej hodnoty sa oddeľujú zúženou medzerou
\,
. Píšeme tedam = 5\,\mathrm{kg}
a získame
- Desatinná čiarka
- program LaTeX používa ako desatinný oddeľovač bodku (
3.14
), v slovenskej typografii to je čiarka, za ktorú však LaTeX automaticky vkladá medzeru. To sa dá potlačiť umiestnením čiarky do zátvoriek. Píšeme teda\pi = 3{,}14
a získame
- Písanie slov
- v prostedí math je každé písmeno chápané ako premenná, preto je sádzané kurzívou a navyše sú ignorované všetky medzery (
ak n>2, potom
vytvorí ). Je potrebné používať prostredie\mbox{}
.
Píšeme teda (pozor na medzery!)\mbox{ak }n>2\mbox{, potom...}
a získame
- Indexy
- veľmi často sa dolný index používa na rozlíšenie veličín (t – čas; tP – Planckov čas). Je vhodné, aby index, ktorý reprezentuje len skratku, bol sádzaný stojatým písmom. Píšeme teda
h_{\mathrm{max}}
a získame ,T_{\mathrm{v}}
a získame (teplota varu),- ale píšeme
C_p
a získame (p – značka tlaku kurzívou)
- Funkcie
- názvy funkcií (napr. sin, cos, ...) nepíšeme kurzívou (napr.
sin x
), pretožesin x
vytvorí , čo sa dá intepretovať aj ako súčin premenných s, i, n a x.
Používame pripravené príkazy\sin
,\cos
,\log
, ...
Vkladanie formátovacích znakov
upraviťPri tvorbe matematických vzorcov je potrebné používať niektoré znaky, ktoré sa nenachádzajú na bežnej slovenskej klávesnici. Je však možné ich vkladať pomocou tzv. alt kódov (klávesa alt (resp. alt gr) + číslo).
znak alt kód alternatíva \
alt + 92 alt + q ^
alt + 94 alt + 3 a potom medzera _
alt + 95 shift + - [
alt + 91 alt + f ]
alt + 93 alt + g {
alt + 123 alt + b }
alt + 125 alt + n <
alt + 60 alt + , >
alt + 62 alt + .
Vykresľovanie vzorcov
upraviťNa základe používateľských nastavení a zložitosti vytvoreného vzorca je vytvorený buď vzorec vo formáte HTML alebo vo formáte PNG. Niekedy však vzorec vo formáte PNG ponúka uspokojivejší výsledok. V takom prípade je možné si PNG formát vynútiť príkazom \,\!
umiestneným na konci či začiatku vzorca (ide o príkaz pre zúženú medzeru „neutralizovaný“ zápornou medzerou rovnakej veľkosti).
zápis výstup abc
abc\,\!
a^2 + b^2 = c^2
a^2 + b^2 = c^2\,\!
Pozn.: V tomto návode boli pre jednotnosť všetky vzorce vynútené ako PNG pomocou spomenutého mechanizmu.
Ukážky hotových vzorcov
upraviťzápis výstup x_{1,2}=\frac{-b \pm
\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}x^n + y^n =
z^n\quad(n>3;\ x,y,z
\in \mathbb{N})\sqrt[n+1]{x_1+
\cdots + x_n}p_1 V_1 = p_2 V_2
\quad (T = \mathrm{const})\int^\infty_0
f(x)\,\mathrm{d}xx + y = \max\{x,y\}
+\min\{x,y\}\sin 18^\circ =
\frac{1}{4}(\sqrt 5 - 1)f(x,y,z) = 3y^2 z
\left( 3 + \frac{7x+5}{1 +
y^2} \right)n \choose k/2
f(n) =
\begin{cases}
n/2, & \mathrm{ak}\ n \
\mathrm{p\acute{a}rne} \\ 3n+1, &
\mathrm{ak}\ n\ \mathrm{nep\acute{a}rne}
\end{cases}
Referencie
upraviť- D. E. Knuth: The TeXbook, AMS & Addison–Wesley, 1986
- T. Oetiker a kol.: Nie príliš stručný úvod do systému LaTeX 2ε, dostupný na internete