Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo je matematickým modelom kyvadla. Matematické kyvadlo je hmotný bod zavesený na tenkom dokonale pevnom vlákne zanedbateľnej hmotnosti, pričom sa zanedbáva odpor vzduchu pri pohybe kyvadla i trenie v závese a gravitačné pole sa považuje za homogénne. Matematické kyvadlo je mechanický oscilátor, ktorý po dodaní počiatočnej energie voľne kmitá. Pri malých výchylkách (do ±5°) je priebeh tohto kmitania približne harmonický, možno ho vyjadriť pomocou funkcie sínus.

Matematické kyvadlo

Matematický opis

Na hmotný bod pôsobí len tiažová sila a ťahová sila vlákna, ktorá ho udržuje v stálej vzdialenosti od závesu. Veľkosť výslednej sily je

$F=mg\sin \varphi$,

kde $g$ je tiažové zrýchlenie a φ je uhol, o ktorý je vlákno vychýlené z rovnovážnej polohy. Diferenciálna rovnica pre opis pohybu kyvadla je z 2. Newtonovho pohybového zákona

${\ddot {\varphi }}=-{\frac {g}{l}}\sin \varphi$,

kde $l$ je dĺžka vlákna. Pokiaľ je maximálna výchylka z rovnovážnej polohy $\varphi _{\rm {max}}$ malá, možno funkciu sínus nahradiť lineárnou funkciou

$\sin \varphi \approx \varphi$.

Diferenciálna rovnica má preto podstatne jednoduchší tvar

${\ddot {\varphi }}+{\frac {g}{l}}\varphi =0.$

Táto rovnica má partikulárne riešenie

$\varphi (t)=\varphi _{m}\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}\cdot t\right)$,

kde $\varphi _{m}$ je počiatočná uhlová výchylka (predpokladáme nulovú počiatočnú rýchlosť, takže je to zároveň maximálna výchylka) a $t$ je čas, čo je pohybová rovnica harmonického oscilátora s periódou

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$.

Periódu ovplyvňuje iba dĺžka kyvadla a tiažové zrýchlenie.

Pozri aj

• Fyzikálne kyvadlo
• Torzné kyvadlo
• Kyv, kmit, Kmitanie

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Matematické kyvadlo na českej Wikipédii.