Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo je matematickým modelom kyvadla. Matematické kyvadlo je hmotný bod zavesený na tenkom dokonale pevnom vlákne zanedbateľnej hmotnosti, pričom sa zanedbáva odpor vzduchu pri pohybe kyvadla i trenie v závese a gravitačné pole sa považuje za homogénne. Matematické kyvadlo je mechanický oscilátor, ktorý po dodaní počiatočnej energie voľne kmitá. Pri malých výchylkách (do ±5°) je priebeh tohto kmitania približne harmonický, možno ho vyjadriť pomocou funkcie sínus.

Matematické kyvadlo

Matematický opisUpraviť

Na hmotný bod pôsobí len tiažová sila a ťahová sila vlákna, ktorá ho udržuje v stálej vzdialenosti od závesu. Veľkosť výslednej sily je

 ,

kde   je tiažové zrýchlenie a φ je uhol, o ktorý je vlákno vychýlené z rovnovážnej polohy. Diferenciálna rovnica pre opis pohybu kyvadla je z 2. Newtonovho pohybového zákona

 ,

kde   je dĺžka vlákna. Pokiaľ je maximálna výchylka z rovnovážnej polohy   malá, možno funkciu sínus nahradiť lineárnou funkciou

 .

Diferenciálna rovnica má preto podstatne jednoduchší tvar

 

Táto rovnica má partikulárne riešenie

 ,

kde   je počiatočná uhlová výchylka (predpokladáme nulovú počiatočnú rýchlosť, takže je to zároveň maximálna výchylka) a   je čas, čo je pohybová rovnica harmonického oscilátora s periódou

 .

Periódu ovplyvňuje iba dĺžka kyvadla a tiažové zrýchlenie.

Pozri ajUpraviť

ZdrojUpraviť

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Matematické kyvadlo na českej Wikipédii.