Otvoriť hlavné menu

Mocninová funkcia je typ elementárnej matematickej funkcie jednej premennej, v ktorej vystupuje len jeden člen s mocninou. Mocninová funkcia je špeciálnym prípadom polynomickej funkcie. Najznámejším príkladom mocninovej funkcie je špeciálny prípad kvadratickej funkcie. Podľa stupňa mocniny premennej sa rozlišujú mocninové funkcie rôznych druhov. V začiatkoch budovania matematickej teórie o funkciách boli predmetom skúmania práve mocninové funkcie, z ktorých bolo odvodené množstvo vlastností a vzťahov. K mocninovým funkciám sa neskôr pridružili aj ďalšie funkcie a spolu vytvorili skupinu pod názvom elementárne funkcie. Pomocou základných mocninových funkcií je možné modelovať veľmi veľa jednoduchých situácii a javov. Svoje opodstatnenie našli v samotnej matematike, vo fyzike, ekonómii a v mnohých ďalších oblastiach.

Krajne asymetrickým rozdelením/rozložením sa zaoberal napr. český geograf, demograf a štatistik Jaromír Korčák v dielach Deux types fondamentaux de distribution statistique (1938) alebo Přírodní dualita statistického rozložení (1941).

Grafy základných mocninových funkcií

DefiníciaUpraviť

Nech  . Potom predpis

 

nazývame mocninová funkcia s reálnym mocniteľom. Ak   potom ide o mocninovú funkciu so záporným celočíselným mocniteľom. Ak   ide o mocninovú funkciu s kladným celočíselným mocniteľom alebo s prirodzeným mocniteľom.

Druhy mocninových funkciíUpraviť

Mocninové funkcie sa rozlišujú podľa stupňa mocniny premennej, ktorú obsahujú. Lineárna a konštantná funkcia sú špeciálnym prípadom mocninovej funkcie. Obvykle sa ale v definícii týchto funkcii nepíšu mocniny. V nasledovnej tabuľke sú mocninové funkcie s ich názvami nanajvýš tretieho stupňa:

Stupeň Predpis funkcie Názov
    nepriama úmernosť
    konštantná funkcia
    lineárna funkcia
    kvadratická funkcia
    kubická funkcia

Vlastnosti mocninových funkciíUpraviť

Vlastnosti mocninových funkcií sú závislé od stupňa mocniny. Grafy tohto typu funkcií sú rôzne, čo závisí opäť od veľkosti a druhu mocniteľa. Napríklad parabola alebo hyperbola.[1] Mocninové funkcie s kladným mocniteľom majú tú spoločnú vlastnosť, že všetky prechádzajú začiatkom sústavy súradníc. Ostatné vlastnosti sa navzájom líšia. Keďže vlastnosti závisia od mocniteľa, je lepšie obmedziť sa na funkcie s celočíselným párnym resp. nepárnym mocniteľom.

Funkcia s kladným párnym mocniteľomUpraviť

 
 

Vlastnosť Rozbor Graf
definičný obor a obor hodnôt  
 
 
prostá funkcia Funkcia nie je prostá, pretože neplatí nasledovná implikácia pre ľubovoľnú dvojicu čísel  :

 

monotónnosť Ak   je kladné, potom funkcia je klesajúca na intervale   a rastúca na intervale  , v opačnom prípade je funkcia rastúca na intervale   a klesajúca na intervale  .
ohraničenosť, párnosť, nepárnosť Ak   je kladné, potom je funkcia zdola ohraničená hodnotou 0. V opačnom prípade je zhora ohraničená hodnotou 0. V tejto hodnote nadobúda aj globálny extrém. Funkcia je párna a nie je nepárna, pretože platí

 

periodická a inverzná funkcia Funkcia nie je periodická so žiadnou periódou. Funkcia nie je prostá, preto neexistuje inverzná funkcia pre celý definičný obor tejto funkcie. Na podmnožine definičného oboru, na ktorej je prostá existuje inverzná funkcia

 

spojitosť a diferencovateľnosť Funkcia je spojitá a diferencovateľná na celom obore reálnych čísel.

Funkcia s kladným nepárnym mocniteľomUpraviť

 
 

Vlastnosť Rozbor Graf
definičný obor a obor hodnôt  
 
prostá funkcia Funkcia je prostá.
monotónnosť Ak   je kladné, potom funkcia je rastúca na celom definičnom obore, v opačnom prípade je funkcia klesajúca na celom definičnom obore.
ohraničenosť, párnosť, nepárnosť Funkcia nie je ohraničená zdola ani zhora. Neexistujú teda ani globálne extrémy. Funkcia je nepárna.
periodická a inverzná funkcia Funkcia nie je periodická so žiadnou periódou. Funkcia je prostá, preto existuje inverzná funkcia pre celý definičný obor tejto funkcie

 

spojitosť a diferencovateľnosť Funkcia je nespojitá (v bode x=0)

Funkcia so záporným párnym mocniteľomUpraviť

 
 

Vlastnosť Rozbor Graf
definičný obor a obor hodnôt  
 
 
prostá funkcia Funkcia nie je prostá, pretože neplatí nasledovná implikácia pre ľubovoľnú dvojicu čísel  :

 

monotónnosť Ak   je kladné, potom funkcia je rastúca na intervale   a klesajúca na intervale  , v opačnom prípade je funkcia klesajúca na intervale   a rastúca na intervale  .
ohraničenosť, párnosť, nepárnosť Ak   je kladné, potom je funkcia zdola ohraničená hodnotou 0. V opačnom prípade je zhora ohraničená hodnotou 0. Funkcia je párna a nie je nepárna, pretože platí

 

periodická a inverzná funkcia Funkcia nie je periodická so žiadnou periódou. Funkcia nie je prostá, preto neexistuje inverzná funkcia pre celý definičný obor tejto funkcie. Na podmnožine definičného oboru, na ktorej je prostá existuje inverzná funkcia

 

spojitosť a diferencovateľnosť Funkcia nie je spojitá v bode  

Funkcia so záporným nepárnym mocniteľomUpraviť

 
 

Vlastnosť Rozbor Graf
definičný obor a obor hodnôt  
 
 
prostá funkcia Funkcia je prostá.
monotónnosť Ak   je kladné, potom funkcia je klesajúca na intervale  , v opačnom prípade je funkcia na danom intervale rastúca.
ohraničenosť, párnosť, nepárnosť Funkcia nie je ohraničená zdola ani zhora. Neexistujú teda ani globálne extrémy. Funkcia je nepárna.
periodická a inverzná funkcia Funkcia nie je periodická so žiadnou periódou. Funkcia je prostá, preto existuje inverzná funkcia pre celý definičný obor tejto funkcie

 

spojitosť a diferencovateľnosť Funkcia nie je spojitá v bode  .

Funkcia má dve asymptoty. Prvá - vodorovná je os   a druhá - zvislá je os  

Mocninové funkcie a polynómyUpraviť

Bližšie informácie v hlavnom článku: Polynóm

Súčtom viacerých mocninových funkcií vznikne polynóm určitého stupňa. Spravidla sa označuje symbolom  , kde   označuje premennú. Stupeň polynómu sa určí podľa najvyššej mocniny, ktorú obsahuje. Polynómy tvoria nadradenú skupinu funkcií k mocninovým, nazvanú polynomické funkcie.

Nech   sú mocninové funkcie takého stupňa, aký majú index. Potom zápis

 

kde koeficienty   sú ľubovoľné reálne čísla, nazývame polynóm  -teho stupňa.[2]

Mocninové radyUpraviť

DefiníciaUpraviť

Mocninovým radom rozumieme rad funkcií v tvare

 

respektíve

 

kde  .[3]

Polomer konvergencie mocninového raduUpraviť

Ak mocninový rad konverguje v bode  , potom absolútne konverguje pre všetky  , pričom najväčšiu vzdialenosť bodu   od počiatku (píšeme  ) nazývame polomerom konvergencie  . Vždy platí, že  . K určeniu polomeru konvergencie sa používajú klasické metódy pre konvergenciu nekonečných číselných radov. Ak je polomer konvergencie nenulový, potom je súčet mocninového radu spojitá funkcia v  .

Vlastnosti mocninových radovUpraviť

Ak platí, že pre ľubovoľné   konverguje rad  , potom taktiež konverguje rad  . Hovoríme, že mocninový rad sa dá derivovať člen po člene.

Taktiež platí, že

 

na ľubovoľnom intervale   a hovoríme, že mocninový rad možno integrovať člen po člene.

Mocninové funkcie a infinitezimálny početUpraviť

Bližšie informácie v hlavnom článku: Infinitezimálny počet

Derivácia mocninovej funkcie je definovaná ako limita
 

Odvodenie derivácie mocninovej funkcieUpraviť

Všeobecné odvodenie sa uskutoční výpočtom vyššie uvedenej limity

 

Primitívna funkcia k mocninovej funkciiUpraviť

Bližšie informácie v hlavnom článku: Integrál

Pre mocninové funkcie platí

 

Tento integrál sa nazýva aj tabuľkový integrál. Primitívna funkcia k mocninovej funkcii je od nej o jeden stupeň vyššia (hodnota mocniny sa zvýši o jeden stupeň). To znamená, že primitívna funkcia k lineárnej je kvadratická, ku kvadratickej je kubická atď. Špeciálnym prípadom je nepriama úmernosť, kde primitívna funkcia vyzerá nasledovne
 

Určitý integrál mocninovej funkcieUpraviť

Bližšie informácie v hlavnom článku: Určitý integrál

Nech  . Potom určitým integrálom mocninovej funkcie rozumieme číslo

 

V prípade nepriamej úmernosti

 

Aplikácie mocninových funkciíUpraviť

Pomocou mocninových funkcií je možné modelovať rôzne jednoduché situácie z bežného života. Príkladom môžu byť ekonomické aplikácie, fyzikálne aplikácie i aplikácie priamo v matematike.

Aplikácie vo fyzikeUpraviť

Jednoduchou, ale významnou fyzikálnou aplikáciou mocninových funkcií je opis dráhy telesa pri voľnom páde. Tento jav popisuje funkcia

 

kde   je gravitačná konštanta. Podľa druhu mocninovej funkcie ide o kvadratickú funkciu, kde ako premenná vystupuje čas -  .[4]

Aplikácie v matematikeUpraviť

 
Kocka s dĺžkou strany a

V matematike by sa dala aplikácia hľadať pri výpočtoch obsahov a objemov. Aby vznikla funkcia jednej premennej, je možné opísať závislosť obsahu štvorca od veľkosti jeho strany. Tento jav sa dá popísať funkciou obsahu štvorca

 

Ide o kvadratickú funkciu, kde premenná je   a vyjadruje dĺžku strany štvorca. Iný príklad by bol na výpočet obsahu rovnoramenného pravouhlého trojuholníka. Táto funkcia je

 

Aplikácia kubickej funkcie by sa dala hľadať pri výpočte objemu kocky a táto funkcia potom vyzerá nasledovne

 

Podobne ako pri trojuholníku, z funkcie objemu kocky by sa dala vyjadriť funkcia objemu ihlana. Zovšeobecnením predchádzajúceho je možné zistiť, že všetky matematické vzorce pre výpočet nejakej kvantity, sú závislé od hodnôt, ktoré do vzťahu dosadzujeme. Všetky tieto predpisy sú teda funkcie a hodnoty, ktoré sa do nich dosadzujú, sú chápané ako premenné.
Aplikácie nepriamej úmernosti možno hľadať v praktických situáciách. Nepriama úmernosť vyjadruje taký vzťah dvoch veličín, že nárast jednej spôsobí pokles druhej a opačne. Všeobecne sa problémové úlohy nepriamej úmernosti riešia cez tzv. trojčlenku. Jednoduchý príklad objasňuje základný princíp nepriamej úmernosti: Auto prejde pri rýchlosti 100 km/h určitú vzdialenosť za 30 minút. Ako dlho by autu trvala rovnaká cesta, ale pri rýchlosti 120 km/h? Zostavením trojčlenky

 

Výpočtom danej rovnice dostávame výsledok, že auto prejde pri rýchlosti 120 km/h danú vzdialenosť za 25 minút. Na trojčlenku sa dá pozrieť aj všeobecnejšie. Ak by sme potrebovali opakovať ten istý algoritmus s inou rýchlosťou, potom treba zopakovať celý výpočet trojčlenky. Jednoduchým odvodením všeobecného vzťahu je možné vyhnúť sa počítaniu cez trojčlenku a chápať zápis ako funkciu:

 

Úpravami získame funkciu

 

kde za premennú   dosadzujeme konkrétnu rýchlosť a získame tak hodnotu  , ktorá vyjadruje počítaný čas. Z matematického hľadiska ide o mocninovú funkciu - nepriamu úmernosť a číslo 3000 nazýva koeficient nepriamej úmernosti  .

ReferencieUpraviť

  1. Kadlečková, M, Zimka, R: Matematika, Mat-Centrum, 1997
  2. Kolek, L: Přehled vzorců středoškolské matematiky, str. 98, Polytechnická knižnice, 1970
  3. Kolek, L: Přehled vzorců středoškolské matematiky, str. 222, Polytechnická knižnice, 1970
  4. Mikulčák, J a kol.: Matematické fyzikálne a chemické tabuľky, SPN, 2002

ZdrojeUpraviť

  • Medek, V. a kol.: Repetitórium stredoškolskej matematiky, Alfa, 1975

Pozri ajUpraviť

Externé odkazyUpraviť